Postulati della Meccanica Quantistica

Ogni teoria fisica si basa su un insieme minimale di definizioni prime irriducibili, che facciano da ponte tra la loro natura sperimentale (il significato) e le definizioni matematiche (il significante) che ne permettono di enunciare relazioni sotto forma di postulati. Se nel caso della Meccanica Newtoniana queste definizioni prime includono lo spazio o il tempo, nella Meccanica Quantistica sono protagonisti i concetti di osservabile e misura.

• Sistema fisico: Un sistema quantistico è la coppia $(\mathcal{H},\hat{H})$ dove $\mathcal{H}$ è uno spazio di Hilbert complesso separabile e $\hat{H}$ un operatore autoaggiunto su $\mathcal{H}$, detto Hamiltoniana, corrispondente alla quantità fisica energia del sistema.
• Sistema composto: Sia $\mathcal{H}$ lo spazio di Hilbert di un sistema fisico composto da $n$ sottosistemi, i cui spazi sono ${\mathcal{H}}_1,\cdots ,{\mathcal{H}}_n$. Allora: $$\mathcal{H}={\mathcal{H}}_1\otimes {\mathcal{H}}_2\otimes \cdots \otimes {\mathcal{H}}_n$$
• Stato del sistema: Si definisce una relazione di equivalenza $\sim$ su $\mathcal{H}\setminus \{0\}$ ponendo $|\Psi ⟩\sim |\Phi ⟩\iff \exists \alpha \in \mathbb{C}\setminus \{0\}$ tale che $|\Psi ⟩=\alpha |\Phi ⟩$. Lo stato fisico di un sistema quantistico è allora un elemento dello spazio quoziente $\mathcal{H}/\sim$, ovvero un raggio dello spazio di Hilbert $\mathcal{H}$.
• Osservabile: Ogni quantità sperimentalmente misurabile (osservabile) è associata ad un operatore autoaggiunto che agisce sullo spazio di Hilbert del sistema quantistico.
• Misura dell’osservabile: Una misura dell’osservabile $\hat{A}$ produce come risultato uno degli autovalori ${\lambda }_i$ dello spettro di $\hat{A}$.
• Ipotesi del collasso (interpretazione di Copenaghen): Dopo aver misurato il valore ${\lambda }_i$ per un’osservabile, lo stato del sistema diventa il suo autovettore (anche detto autostato) corrispondente $|{\lambda }_i⟩$.
• Probabilità di transizione (regola di Born): La probabilità di misurare il valore ${\lambda }_i$ nello stato $|\Psi ⟩$ è data dalla relazione $$P=\frac{|⟨{\lambda }_i|\Psi ⟩{|}^2}{⟨{\lambda }_i|{\lambda }_i⟩⟨\Psi |\Psi ⟩}$$
• definizione di $\hslash$ (costante di Planck): $[\hat{q},\hat{p}]=i\hslash I$, dove $\hat{q}$ e $\hat{p}$ sono le osservabili posizione e impulso.
• Evoluzione temporale: Uno stato $|\Psi ⟩$ dopo un intervallo di tempo $t$ diventa lo stato $$e^{-i\frac{\hat{H}}{\hslash }t}|\Psi ⟩$$