Prodotto scalare, Norma, Distanza

Si denota con $a^{\ast }$ il complesso coniugato di $a\in \mathbb{C}$.

Definizione (Prodotto scalare). Sia $V$ uno spazio vettoriale in campo $K$ reale o complesso. Un prodotto scalare¹ (o hermitiano o interno) $(\cdot ,\cdot )$ (o $⟨\cdot ,\cdot ⟩$) è una funzione

$$(\cdot ,\cdot ):V\times V\to K$$

che soddisfa le proprietà seguenti:

1. linearità sulla seconda componente: $$(\vec{w},\lambda \vec{v}+\mu \vec{u})=\lambda (\vec{w},\vec{v})+\mu (\vec{w},\vec{u})$$
2. simmetria Hermitiana (o coniugata): $$(\vec{w},\vec{v})=(\vec{v},\vec{w}{)}^{\ast }$$
3. positività definita²: $$(\vec{v},\vec{v})\ge 0;(\vec{v},\vec{v})=0⟹\vec{v}=\vec{0}$$

$\forall \vec{v},\vec{w}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$

La coppia $\left(V,(\cdot ,\cdot )\right)$ è detta spazio di pre-Hilbert (o prehilbertiano o hermitiano).

Proposizione. (Antilinearità sulla prima componente)

$$(\lambda \vec{v}+\mu \vec{u},\vec{w})={\lambda }^{\ast }(\vec{v},\vec{w})+{\mu }^{\ast }(\vec{u},\vec{w})$$

$\forall \vec{v},\vec{w}\in V,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb{C}$

L’insieme delle proprietà di linearità sulla seconda componente e antilinearità sulla prima componente è chiamata proprietà di sesquilinearità.

Definizione (Prodotto scalare canonico). Sia $V$ lo spazio vettoriale in campo complesso delle $n$-uple a componenti complesse. Siano $\vec{v}=(v_1,\cdots ,v_n)$ e $\vec{w}=(w_1,\cdots ,w_n)$. Il prodotto scalare canonico è definito come:

$$(\vec{v},\vec{w}):=\sum _{i=1}^n{v}_i^{\ast }{w}_i$$

Definizione (Prodotto scalare canonico). Sia $V$ uno spazio vettoriale in campo reale o complesso di dimensione finita $n$. Siano $(v_1,\cdots ,v_n)$ e $(w_1,\cdots ,w_n)$ i vettori delle coordinate di $\vec{v}$ e $\vec{w}\in V$, rispettivamente, rispetto alla base $B=\{{\vec{b}}_1,\cdots ,{\vec{b}}_n\}$. Il prodotto scalare canonico tra $\vec{v}$ e $\vec{w}$ rispetto alla base $B$ è definito come:

$$(\vec{v},\vec{w}):=\sum _{i,j=1}^n{v}_i^{\ast }{G}_{ij}{w}_j$$

dove $G$ è la matrice metrica

COORDINATE? BASE? NORMA P?

Definizione (Norma). Sia $V$ uno spazio vettoriale in campo reale o complesso. Una norma $\Vert \cdot \Vert$ è una funzione

$$\Vert \cdot \Vert :V\to \mathbb{R}$$

che soddisfa le proprietà seguenti:

1. $\Vert \vec{v}\Vert =0\iff \vec{v}=\vec{0}$
2. $\Vert \lambda \vec{v}\Vert =|\lambda |\cdot \Vert \vec{v}\Vert$
3. $\Vert \vec{v}+\vec{w}\Vert \le \Vert \vec{v}\Vert +\Vert \vec{w}\Vert$ (disuguaglianza triangolare)

$\forall \vec{v},\vec{w}\in V,\forall \lambda \in \mathbb{R}$

La coppia $\left(V,\Vert \cdot \Vert \right)$ è detta spazio normato.

Definizione (Distanza).

Definizione (Norma indotta dal prodotto scalare).

Definizione (Distanza indotta dalla norma).

Proposizione. Ogni norma indotta dal prodotto scalare è una norma. Ogni distanza indotta dalla norma è una distanza.

• Spazio di pre-Hilbert
• Spazio normato
• spazio metrico

Footnotes

1. Spesso si preferisce definire il prodotto scalare in campo reale e chiamare prodotto Hermitiano (o interno) quello in campo complesso. ↩

2. Tale proprietà è spesso omessa dalla definizione di prodotto Hermitiano e inclusa nella definizione di prodotto Hermitiano definito positivo. ↩