Prodotto tensoriale

La trattazione che segue è ispirata principalmente a Cohen-Tannoudji, (2019), Capitolo II, Sezione F, con integrazioni e adattamenti ove necessario.

Definizione (Prodotto tensoriale). Siano ${\mathcal{H}}_1$ e ${\mathcal{H}}_2$ due spazi di Hilbert¹. Il prodotto tensoriale di ${\mathcal{H}}_1$ e ${\mathcal{H}}_2$, denotato con ${\mathcal{H}}_1\otimes {\mathcal{H}}_2$, è uno spazio di Hilbert contenente tutte le coppie del tipo $|v_1⟩\otimes |v_2⟩$, dove $|v_1⟩\in {\mathcal{H}}_1$ e $|v_2⟩\in {\mathcal{H}}_2$ (detti vettori decomponibili)

$${\mathcal{H}}_1\otimes {\mathcal{H}}_2:=\text{span}\left\{|v_1⟩\otimes |v_2⟩:|v_1⟩\in {\mathcal{H}}_1\wedge |v_2⟩\in {\mathcal{H}}_2\right\}$$

che soddisfa le proprietà seguenti:

1. linearità della moltiplicazione per uno scalare:

   $$(\lambda |v_1⟩)\otimes |v_2⟩=|v_1⟩\otimes (\lambda |v_2⟩)=\lambda (|v_1⟩\otimes |v_2⟩)$$

   $\forall \lambda \in \mathbb{C},$ $\forall |v_1⟩\in {\mathcal{H}}_1,$ $\forall |v_2⟩\in {\mathcal{H}}_2$

2. distributività dell’addizione tra vettori:

   $$|v_1⟩\otimes (|v_2⟩+|w_2⟩)=|v_1⟩\otimes |v_2⟩+|v_1⟩\otimes |w_2⟩$$ $$(|v_1⟩+|w_1⟩)\otimes |v_2⟩=|v_1⟩\otimes |v_2⟩+|w_1⟩\otimes |v_2⟩$$

   $\forall |v_1⟩,|w_1⟩\in {\mathcal{H}}_1,$ $\forall |v_2⟩,|w_2⟩\in {\mathcal{H}}_2$

3. siano $\left\{|u_{1,i}⟩\right\}$ e $\left\{|u_{2,i}⟩\right\}$ due basi rispettivamente di ${\mathcal{H}}_1$ e ${\mathcal{H}}_2$. L’insieme $\left\{|u_{1,i}⟩\otimes |u_{2,j}⟩\right\}$ è una base di ${\mathcal{H}}_1\otimes {\mathcal{H}}_2$.

4. il prodotto scalare di ${\mathcal{H}}_1\otimes {\mathcal{H}}_2$ è definito a partire dai prodotti scalari di ${\mathcal{H}}_1$ e ${\mathcal{H}}_2$ come segue: sui vettori decomponibili si pone

   $$⟨v_1{v}_2|w_1{w}_2⟩=⟨v_1|w_1⟩⟨v_2|w_2⟩$$

   dove $|v_1{v}_2⟩=|v_1⟩\otimes |v_2⟩,$ $|w_1{w}_2⟩=|w_1⟩\otimes |w_2⟩$. La definizione è poi estesa per sesquilinearità.

Prodotto tensoriale di operatori

Definizione (Prodotto tensoriale di operatori). Siano $A_1$ e $A_2$ operatori lineari agenti rispettivamente sugli spazi di Hilbert ${\mathcal{H}}_1$ e ${\mathcal{H}}_2$. Il prodotto tensoriale di $A_1$ e $A_2$, denotato con $A_1\otimes A_2$, è un operatore lineare agente su ${\mathcal{H}}_1\otimes {\mathcal{H}}_2$ nel modo seguente: sui vettori decomponibili si pone

$$(A_1\otimes A_2)(|v_1⟩\otimes |v_2⟩):=A_1|v_1⟩\otimes A_2|v_2⟩$$

$\forall |v_1⟩\in {\mathcal{H}}_1,\forall |v_2⟩\in {\mathcal{H}}_2$. La definizione è poi estesa per linearità.

Proposizione (Prodotto misto). Siano $A_1$, $B_1$ operatori lineari sullo spazio di Hilbert ${\mathcal{H}}_1$ e $A_2$, $B_2$ operatori lineari sullo spazio di Hilbert ${\mathcal{H}}_2$, tali per cui siano ben definiti i prodotti $A_1{B}_1$ e $A_2{B}_2$. Vale la seguente relazione:

$$(A_1\otimes A_2)(B_1\otimes B_2)=(A_1{B}_1)\otimes (A_2{B}_2)$$

Proposizione. Siano $A_1$ e $A_2$ operatori lineari agenti sugli spazi di Hilbert ${\mathcal{H}}_1$ e ${\mathcal{H}}_2$, rispettivamente. Allora:

$$A_1,A_2\text{ autoaggiunti}⟹A_1\otimes A_2\text{ autoaggiunto}$$ $$A_1,A_2\text{ unitari}⟹A_1\otimes A_2\text{ unitario}$$

Per una trattazione più completa delle due proposizioni appena enunciate si veda Professor Heinz Neudecker and matrix differential calculus, (2024), Amy N. Langville and William J. Stewart, Sezione 2.2 o D.S.G. Pollock (2013), Sezione 8, tenendo a mente il risultato della proposizione enunciata in seguito sul prodotto di Kronecker.

Si utilizza la notazione $A^{\otimes n}$ per indicare il prodotto tensoriale di un operatore, uno spazio di Hilbert o un vettore $A$ per se stesso $n$ volte.

Prodotto di Kronecker

Definizione (Prodotto di Kronecker). Siano $A$ una matrice $m\times n$ e $B$ una matrice $p\times q$. Il prodotto di Kronecker di $A$ e $B$ è una matrice $mp\times nq$ definita a blocchi come segue:

$$A{\otimes }_{K}B:=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right)$$

Il prodotto di Kronecker è la rappresentazione matriciale del prodotto tensoriale di operatori lineari quando si scelgono basi fissate negli spazi di Hilbert coinvolti.

Proposizione. Siano ${\mathcal{H}}_1$ e ${\mathcal{H}}_2$ due spazi di Hilbert finito-dimensionali, di dimensione $m$ e $n$, ${\left\{|u_{1,i}⟩\right\}}_{i=1}^m$ una base di ${\mathcal{H}}_1$, ${\left\{|u_{2,j}⟩\right\}}_{j=1}^n$ una base di ${\mathcal{H}}_2$. Allora ogni operatore lineare $A_1$ su ${\mathcal{H}}_1$ è rappresentato, rispetto alla base $\left\{|u_{1,i}⟩\right\}$, da una matrice $m\times m$, e ogni operatore $A_2$ su ${\mathcal{H}}_2$, rispetto alla base $\left\{|u_{2,j}⟩\right\}$, da una matrice $n\times n$. Il prodotto tensoriale $A_1\otimes A_2$, è rappresentato, rispetto alla base tensoriale $\left\{|u_{1,i}⟩\otimes |u_{2,j}⟩\right\}$, dalla matrice di Kronecker $A_1{\otimes }_K{A}_2$.

Per un esempio dimostrativo dell’enunciato, si rimanda a David S. Dummit and Richard M. Foote (2004), Capitolo 11, Proposizione 17.

Si utilizza il simbolo $\otimes$ per indicare il prodotto di Kronecker o il prodotto tensoriale tra spazi di Hilbert; invece è spesso omesso nella rappresentazione dei vettori del prodotto tensoriale per i quali si adotta la seguente notazione:

$$|v_1⟩\otimes |v_2⟩\otimes \cdots \otimes |v_n⟩:=|v_1⟩|v_2⟩\cdots |v_n⟩:=|v_1{v}_2\cdots v_n⟩$$

Bibliografia

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, and Franck Laloë. Quantum Mechanics, Volume 1: Basic Concepts, Tools, and Applications. Wiley, 2019.
• David S. Dummit and Richard M. Foote. Abstract Algebra. John Wiley & Sons, 3 edition, 2004.
• Amy N. Langville and William J. Stewart. The Kronecker product and stochastic automata networks. Journal of Computational and Applied Mathematics, 167(2):429– 447, 2004.
• Shuangzhe Liu, Götz Trenkler, Tõnu Kollo, Dietrich von Rosen, and Oskar Maria Baksalary. Professor Heinz Neudecker and matrix differential calculus. Statistical Papers, 65(4):2605–2639, 2024.
• D.S.G. Pollock. On kronecker products, tensor products and matrix differential calculus. International Journal of Computer Mathematics, 90(11):2462–2476, 2013.

Footnotes

1. In tutta la trattazione, ogni spazio di Hilbert è inteso in campo complesso. ↩