Notazione di Dirac

Definizione (Ket). Sia $\mathcal{H}$ lo spazio di Hilbert di un sistema quantistico. Si dice ket un vettore appartenente a $\mathcal{H}$, denotato come:

$$|v⟩\in \mathcal{H}$$

Definizione (Bracket). Sia $(\cdot ,\cdot )$ il prodotto scalare dello spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ di un sistema quantistico. Siano $|v⟩,|w⟩\in \mathcal{H}$. Sia $A$ un operatore lineare in $\mathcal{H}$. Si denotano:

$$⟨w|v⟩:=(|w⟩,|v⟩),⟨w|A|v⟩:=(|w⟩,A|v⟩)$$

Proposizione. Per la simmetria hermitiana del prodotto scalare e per definizione di operatore aggiunto $A^{†}$ segue che:

$$⟨w|A|v⟩={⟨v|A^{†}|w⟩}^{\ast }$$

Definizione (Valor medio). Sia $\mathcal{H}$ lo spazio di Hilbert di un sistema quantistico, $|v⟩\in \mathcal{H}$ e $A$ un’osservabile del sistema. Si dice valor medio di $A$ su $|v⟩$ il seguente rapporto:

$$⟨A⟩:=\frac{⟨v|A|v⟩}{⟨v|v⟩}$$

Definizione. Gli operatori $|u⟩⟨w|$ e ${\sum }_i|u_i⟩⟨w_i|$, che operano nello spazio di Hilbert a cui appartengono i ket $|u⟩,|w⟩,|u_i⟩,|w_i⟩,|v⟩$ sono definiti tali per cui:

$$\left(|u⟩⟨w|\right)|v⟩:=|u⟩⟨w|v⟩$$ $$\left(\sum _i|u_i⟩⟨w_i|\right)|v⟩:=\sum _i|u_i⟩⟨w_i|v⟩$$

Proposizione. Sia $\{|e_i⟩\}$ una base di uno spazio di Hilbert. Allora:

$$\sum _i|e_i⟩⟨e_i|=I$$

Proposizione.

$${\left(|w⟩⟨v|\right)}^{†}=|v⟩⟨w|$$