Sistema Fisico di un Computer Quantistico

Definizione (Qubit). Un qubit è un sistema fisico il cui spazio di Hilbert è di dimensione due[^1].

Un esempio di qubit è quello di un qualsiasi fermione di spin 1/2.

Definizione (Computer quantistico). Un Computer Quantistico è un sistema fisico di $n$ qubit unito ad una sequenza di [[Porte Logiche|porte logiche]] agenti sul suo stato.

Definizione (Base computazionale). Sia $\hat{S}$ un’osservabile di singolo qubit e $\left\{|0⟩,|1⟩\right\}$ una base ortonormale di autovettori di $\hat{S}$. Si dice base computazionale di un sistema di $n$ qubit la base, di cardinalità $2^n$, dello spazio di Hilbert, isomorfo a $({\mathbb{C}}^2{)}^{\otimes n}$, del sistema:

$$\left\{|0\cdots 00⟩,|0\cdots 01⟩,|0\cdots 10⟩,\cdots ,|1\cdots 11⟩\right\}$$

In tutta la trattazione si considererà fissata l’osservabile $\hat{S}$ di singolo qubit a cui farà riferimento ogni misura. Ogni stato $|0⟩$ o $|1⟩$ sarà relativo alla base computazionale da essa definita, così come ogni rappresentazione matriciale degli operatori lineari. Inoltre con l’espressione “misurare 0 o 1” verrà inteso “misurare l’autovalore corrispondente a $|0⟩$ o a $|1⟩$“. L’espressione “misurare l’$i$-esimo qubit” starà quindi ad indicare l’operazione di misura, sull’intero sistema, dell’osservabile:

$$I^{\otimes (i-1)}\otimes \hat{S}\otimes I^{\otimes (n-i)}$$

Lo stato $|\Psi ⟩$ di un sistema di $n$ qubit è pertanto definito da una combinazione lineare dei vettori di base:

$$|\Psi ⟩={\alpha }_0|0\cdots 00⟩+{\alpha }_1|0\cdots 01⟩+{\alpha }_2|0\cdots 10⟩+\cdots +{\alpha }_{2^n-1}|1\cdots 11⟩$$

dove ${\alpha }_i\in \mathbb{C},\forall i\in \left[0,2^n-1\right]\cap \mathbb{N}$.

Esempio (Singolo qubit). Lo stato di un singolo qubit è quindi definito da una combinazione lineare dei vettori della base $\left\{|0⟩,|1⟩\right\}$:

$$|\Psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$$

dove $\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$.

In caso di vettore normalizzato, è semplice verificare che le probabilità che la misura sia 0 piuttosto che 1, quindi le probabilità che lo stato collassi nell’autostato $|0⟩$ piuttosto che $|1⟩$, sono date dal modulo quadro dei coefficienti della combinazione lineare $|\alpha {|}^2$, $|\beta {|}^2$.

Esempio (Due qubit). Lo stato di un sistema di due qubit è invece definito dalla base $\left\{|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩\right\}$:

$$|\Psi ⟩=\alpha |00⟩+\beta |01⟩+\gamma |10⟩+\delta |11⟩$$

dove $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb{C}$.

In questo caso, se il vettore è normalizzato, misurare uno dei due qubit, ad esempio il primo, equivale a misurare l’osservabile $\hat{S}\otimes I$, i cui autostati sono:

$$|{\lambda }_0⟩=\alpha |00⟩+\beta |01⟩,|{\lambda }_1⟩=\gamma |10⟩+\delta |11⟩$$

Quindi le probabilità di misurare 0 piuttosto che 1, o le probabilità che lo stato collassi in $|{\lambda }_0⟩$ piuttosto che in $|{\lambda }_1⟩$, sono:

$$P(0)=|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2,P(1)=|\gamma {|}^2+|\delta {|}^2$$

Definizione (Sfera di Bloch). Viene detta sfera di Bloch la superficie sferica di raggio 1 in coordinate sferiche: \begin{center} \begin{minipage}{5.5cm} $\{\begin{array}{rl}x& =\sin \theta \cos \phi \\ y& =\sin \theta \sin \phi \\ z& =\cos \theta \end{array}\begin{array}{rl}0\le \theta & \le \pi \\ 0\le \phi & \le 2\pi \end{array}$ \end{minipage} %\hspace{0.5cm} \begin{minipage}{5.5cm} \begin{figure}[H] \centering \input{bloch.tex} \end{figure} \end{minipage} \end{center} della quale ogni punto, quindi ogni coppia di coordinate sferiche $(\theta ,\phi )$, indica univocamente uno stato normalizzato di singolo qubit: $|\Psi ⟩=\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i\phi }\sin \frac{\theta }{2}|1⟩$

Tale cambiamento di variabili in coordinate sferiche è attuabile poiché, come osservato nell’esempio del singolo qubit, il suo stato è: $|\Psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩\alpha ,\beta \in \mathbb{C}$ Lo stato, se normalizzato, essendo $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$, può essere espresso come: $|\Psi ⟩=e^{i\gamma }\cos \frac{\theta }{2}|0⟩+e^{i(\gamma +\phi )}\sin \frac{\theta }{2}|1⟩$ Dove il fattore $e^{i\gamma }$, non essendo influente sullo stato del sistema, può essere ignorato.

Entanglement

Definizione (Stato entangled). Sia $|\Psi ⟩$ lo stato di un sistema composto da $n$ sottosistemi i cui spazi di Hilbert sono ${\mathcal{H}}_1,\cdots ,{\mathcal{H}}_n$. Lo stato $|\Psi ⟩$ è detto entangled se non è decomponibile, cioè se non può essere espresso come prodotto tensoriale degli stati dei singoli sottosistemi ma solo come combinazione lineare non banale dei vettori di base dello spazio ${\mathcal{H}}_1\otimes \cdots \otimes {\mathcal{H}}_n$ al quale appartiene:

$$|\Psi ⟩\ne |v_1\cdots v_n⟩,\forall |v_i⟩\in {\mathcal{H}}_i$$

L’effetto che la misura ha sugli stati entangled è un’ovvia conseguenza dell’ipotesi del collasso e delle proprietà del prodotto tensoriale.

Esempio (Due qubit entangled). Sia il sistema di due qubit nello stato entangled:

$$|\Psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|00⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|11⟩$$

Misurando il primo qubit, lo stato collassa in uno dei due autostati equiprobabili $|00⟩$, $|11⟩$, quindi la misura del primo qubit determina il risultato di una successiva misura del secondo.

[^1] Lo spazio di Hilbert di un qubit può essere un prodotto tensoriale di spazi in cui almeno uno di essi abbia dimensione 2.